সংখ্যারেখার সাহায্যে পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ (৩.১০)

আমরা সংখ্যারেখার সাহায্যে পূর্ণসংখ্যার যোগ শিখেছি। সে ক্ষেত্রে আমরা দেখতে পাই যে, কোনো সংখ্যার সাথে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করার জন্য ঐ বিন্দু থেকে ডানদিকে যাই আবার ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করার জন্য ঐ বিন্দু থেকে বামদিকে যাই। এখন আমরা পূর্ণসংখ্যা থেকে পূর্ণসংখ্যা কিভাবে বিয়োগ করা হয় তা শিখবো।

(ক) সংখ্যারেখার সাহায্যে 6 থেকে 2 এর বিয়োগ অর্থাৎ, 6- (+2) নির্ণয় :

সংখ্যারেখা ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যা 6 থেকে 2 বিয়োগ করার জন্য 6 বিন্দু থেকে বামদিকে 2 ধাপ অতিক্রম করি এবং 4 বিন্দুতে পৌঁছাই। সুতরাং আমরা পাই, 6-(+2) = 6-2 = 4 (চিত্র-১৪)।

(খ) সংখ্যারেখার সাহায্যে 6 থেকে (-2) এর বিয়োগ অর্থাৎ 6- (-2) নির্ণয় :

6-(-2) নির্ণয়ের জন্য আমরা কি 6 বিন্দু থেকে 2 ধাপ বামদিকে যাব নাকি ডানদিকে যাব? যদি, আমরা 2 ধাপ বামদিকে যাই তবে 4 বিন্দুতে পৌছাই। তাহলে আমাদের বলতে হবে 6-(-2) = 4। কিন্তু এটা সঠিক নয় কারণ আমরা জানি 6-2=4; অতএব, 6-26 $\ne$ (-2).

যদি 0 থেকে 2 ঘর বামে যাওয়া 2 হয় তবে 0 থেকে 2 ঘর বামে যাওয়া অর্থ হবে ০ থেকে 2 ঘর ডানে যাওয়া। তাই 6- (-2) = 6+2=8.

যেহেতু, সংখ্যারেখার উপর আমরা শুধু ডান বা বাম দিকে যেতে পারি, সেহেতু আমাদেরকে 6 বিন্দুর ডানদিকে 2 ধাপ যেতে হবে এবং 6-(-2) = ৪ হবে (চিত্র-১৫)।

লক্ষ করি:- (-2) = +2 = 2.

সমস্যাটির সমাধান অন্যভাবে বিবেচনা করা যাক। আমরা জানি যে, (-2) এর যোগাত্মক বিপরীত 2. সে জন্য 6 এর সাথে (-2) এর যোগাত্মক বিপরীতের যোগফল যা পাওয়া যায় তা 6 থেকে (-2) এর বিয়োগফলের সমান।

সুতরাং আমরা লিখতে পারি, 6-(-2)=6+2=8.

উপরের উদাহরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে, যখন কোনো সংখ্যা থেকে একটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বিয়োগ করা হয়, তখন ঐ সংখ্যা থেকে বড় কোনো সংখ্যা পাওয়া যায়।
(গ) সংখ্যারেখা ব্যবহার করে 5- (+4) এর মান নির্ণয় :

আমরা জানি, - 5 - (4) = - 5 + (- 4) যেহেতু + 4 এর যোগাত্মক বিপরীত 4. আমরা এখন - 5+ (-4) এর মান নির্ণয় করার জন্য 5 বিন্দু থেকে বামদিকে 4 ধাপ অতিক্রম করি এবং– 9 বিন্দুতে পৌছাই। তাহলে আমরা পাই5+(-4)=-9. সুতরাং-5-(+4)=-9 (চিত্র-১৬)।
(ঘ) সংখ্যারেখা ব্যবহার করে 5- (-4) এর মান নির্ণয় :

আমরা জানি, - 5 - (- 4) = - 5 + 4 যেহেতু 4 এর যোগাত্মক বিপরীত 4. এখন – 5+ (4) এর মান নির্ণয় করার জন্য আমরা 5 বিন্দুটি থেকে ডানদিকে 4 ধাপ অতিক্রম করি এবং - 1 বিন্দুতে পৌছাই
(চিত্র-১৭)

তাহলে আমরা পাই - 5 + 4 = - 1 সুতরাং 5 (-4)= -1.

উদাহরণ ১। -৪- (-10) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা জানি, 10 এর যোগাত্মক বিপরীত 10.

অতএব, (- 8) - (- 10) =-8+(-10 এর যোগাত্মক বিপরীত) = -8 +10 = 2

সুতরাং-৪-(-10) = 2

এখন, সংখ্যারেখার উপর-৪ বিন্দুটি থেকে ডানদিকে 10 ধাপ অতিক্রম করি এবং 2 বিন্দুতে পৌঁছাই।

সুতরাং -৪-(-10) = 2

উদাহরণ ২। (-10) থেকে (-4) বিয়োগ কর।

সমাধান: আমরা জানি, (-4) এর যোগাত্মক বিপরীতক 4

সুতরাং, (- 10) - (- 4) =(-10)+(-4 এর যোগাত্মক বিপরীত) = 10+ 4 = -6

উদাহরণ ৩। (-3) থেকে (+3) বিয়োগ কর।

সমাধান: এখানে, (- 3) - (3) =(-3)+(+3 এর যোগাত্মক বিপরীত)

= -3+(-3)

=-6.

উদাহরণ ৪। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রী রাইসা ও ফারিহা তাদের বিদ্যালয় মাঠের কেন্দ্র বিন্দু (শূন্যবিন্দু) থেকে ডানদিকে 6 ধাপ এবং বামদিকে 5 ধাপ অতিক্রম করে যথাক্রমে A ও B অবস্থানে পৌছে। ডান দিক ধনাত্মক বিবেচ্য।

(ক) A ও B এর অবস্থান সূচক সংখ্যা চিহ্ন সহ লিখ।
(খ) রাইসা ও ফারিহার অবস্থান সংখ্যারেখায় দেখাও।
(গ) রাইসা ও ফারিহার আরও এক ধাপ করে অগ্রসর হলে তাদের অবস্থান সূচক সংখ্যারেখা ব্যবহার করে যোগ কর।

সমাধান:

(ক)

রাইসা শূন্য বিন্দুর অবস্থান থেকে 6 ধাপ ডানে যায় আর
ফারিহা শূন্য বিন্দুর অবস্থান থেকে 5 ধাপ বামে যায়
যেহেতু ডান দিক ধনাত্মক। অতএব, বামদিক ঋণাত্মক।
অতএব A এর অবস্থান সূচক সংখ্যা = +6
B এর অবস্থান সূচক সংখ্যা = -5

(খ)

রাইসার অবস্থান সূচক সংখ্যা = +6
ফারিহার অবস্থান সূচক সংখ্যা = -5
সংখ্যা রেখায় বিন্দুর অবস্থান থেকে ডান দিকে
6 ধাপ গেলে যে বিন্দু পাওয়া যায় তা, +6 যা, রাইসার অবস্থান
আবার, 0 বিন্দুর অবস্থান থেকে বাম দিকে 5 ধাপ অতিক্রম করে প্রাপ্ত বিন্দু = -5, যা ফারিহার অবস্থান।

সংখ্যা রেখায়) এর ডানের গোল চিহ্নিত বিন্দুটি = +6
এবং ০ এর বামের গোল চিহ্নিত বিন্দুটি = -5

(গ) রাইসা আরও একধাপ অগ্রসর হলে প্রাপ্ত বিন্দু = +6+1 = +7

ফারিহা আরও একধাপ অগ্রসর হলে প্রাপ্ত বিন্দু = -5-1= -6
এখন সংখ্যা রেখা ব্যবহার করে +7+(-6) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

সংখ্যারেখার ০ বিন্দু থেকে ডানদিকে 7 ধাপ অতিক্রম করে +7 বিন্দুতে পৌঁছাই। তারপর (+7) বিন্দুর বাম দিকে 6 ধাপ অতিক্রম করে (+1) বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে +7 ও-6 এর যোগফল হবে। (7) + (- 6) = +1 (চিত্র)

উদাহরণ ৫।

A = (- 9) + 4 + (- 6)
B = 7 + (- 4)
(ক) B এর মান নির্ণয় কর।
(খ) দেখাও যে, A < B
(গ) A ও B এর মান সংখ্যারেখায় বসিয়ে (A + B) নির্ণয় কর।

সমাধান :

(ক) B = 7 + (- 4)
= 7-4
= 3

(খ) 'ক' হতে পাই, B = 3
A = (- 9) + 4 + (- 6)
= -9+4-6
= -9-6+4
= -15+4
A = - 11 এবং B = 3

A এর মান, B এর মানের চেয়ে ছোট
অর্থাৎ A

(গ) 'খ' হতে পাই, A = - 11

এবং
B = 3
A + B = - 11 + (3)

এখন, সংখ্যারেখা ব্যবহার করে, (A+B) নির্ণয় করি।

সংখ্যা রেখার উপর 0 বিন্দু থেকে বাম দিকে প্রথমে 11 ধাপ অতিক্রম করে (-11) বিন্দুতে পৌঁছাই। তারপর, (-11) বিন্দুর ডানদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করে, (-৪) বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে, (-11) এবং 3 এর যোগফল হবে, (- 11) + (3) = - 8

অতএব A + B = - 8